Двоичная система счисления: полный справочник
Двоичная система счисления — это язык, на котором «думают» и общаются компьютеры. Вся информация в цифровых устройствах (тексты, изображения, звуки, программы) в конечном счете представлена в виде последовательности всего двух цифр: 0 и 1. Понимание двоичной системы — это фундаментальный шаг к изучению программирования, компьютерных сетей и архитектуры ЭВМ. Этот справочник простым языком объясняет основы, правила перевода и операции в двоичной системе.
Что такое двоичная система?
Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. Это значит:
- Для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1.
- Вес каждой цифры (разряда) зависит от ее позиции в числе и равен степени двойки.
Любое число можно представить в виде суммы произведений цифр на степени основания системы (в данном случае — двойки).
Как перевести двоичное число в десятичное?
Чтобы перевести двоичное число в привычное нам десятичное, нужно просуммировать произведения каждой двоичной цифры на соответствующую ей степень двойки, начиная справа (с младшего разряда).
Алгоритм:
- Пронумеруйте разряды двоичного числа справа налево, начиная с нуля.
- Умножьте каждую цифру на число 2, возведенное в степень, равную номеру ее разряда.
- Сложите полученные результаты.
Пример: Переведем число 1101 из двоичной системы в десятичную.
| Разряд (справа налево) | 3 | 2 | 1 | 0 |
| Степень двойки (2ⁿ) | 2³ | 2² | 2¹ | 2⁰ |
| Расчет | 1×2³ | 1×2² | 0×2¹ | 1×2⁰ |
| Результат | 8 | 4 | 0 | 1 |
Сумма: 8 + 4 + 0 + 1 = 13
Вывод: Двоичное число 1101 равно десятичному числу 13.
Как перевести десятичное число в двоичное?
Для перевода используется метод последовательного деления десятичного числа на 2 с записью остатков.
Алгоритм:
- Разделите исходное десятичное число на 2. Запишите частное и остаток (0 или 1).
- Полученное частное снова разделите на 2, снова записав остаток.
- Продолжайте этот процесс до тех пор, пока частное не станет равным 0.
- Запишите полученные остатки в обратном порядке — это и будет искомое двоичное число.
Пример: Переведем число 19 из десятичной системы в двоичную.
| Деление | Частное | Остаток |
| 19 ÷ 2 | 9 | 1 |
| 9 ÷ 2 | 4 | 1 |
| 4 ÷ 2 | 2 | 0 |
| 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Записываем остатки снизу вверх: 10011
Вывод: Десятичное число 19 равно двоичному числу 10011.
Таблица степеней двойки и двоичных чисел
Эта таблица — ваш главный помощник при работе с двоичной системой.
| Степень (n) | 2ⁿ (Десятичное) | Двоичное представление (2ⁿ) |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 10 |
| 2 | 4 | 100 |
| 3 | 8 | 1000 |
| 4 | 16 | 10000 |
| 5 | 32 | 100000 |
| 6 | 64 | 1000000 |
| 7 | 128 | 10000000 |
| 8 | 256 | 100000000 |
Арифметика в двоичной системе
Правила сложения, вычитания, умножения и деления аналогичны десятичной системе, но более просты.
Сложение двоичных чисел
| Слагаемое A | Слагаемое B | Сумма | Перенос |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
Пример:
1011 (11 в десятичной) +
0110 (6 в десятичной)
--------
10001 (17 в десятичной)Умножение двоичных чисел
Умножение выполняется так же, как в десятичной системе: формируются частичные произведения и затем они суммируются.
Пример:
101 (5 в десятичной) ×
011 (3 в десятичной)
--------
101
1010
+00000
--------
1111 (15 в десятичной)Практическое применение двоичной системы
- Компьютерная память: Биты (0 и 1) — минимальная единица информации. Байт = 8 бит.
- Цвета в графике: Цвет пикселя часто кодируется двоичными числами (например, в модели RGB).
- Логические операции: В основе процессора лежат логические элементы (И, ИЛИ, НЕ), работающие с двоичными сигналами.
- Сетевые протоколы: Передача данных по сети также происходит в двоичном виде.
Заключение: Двоичная система — это не абстрактное понятие, а реальный инструмент, лежащий в основе всей цифровой техники. Освоив ее, вы получаете ключ к пониманию того, как работает технологический мир вокруг нас.